BUNLARI BİLİYOR MUYDUNUZ? Matematiğin de Sınırları Var ' Yanıldım, gemiyi kaçırdım' John von Neumann 19. yüzyılın ortalarından itibaren, matematiğin temelleri, matematiğin hangi yolla yapılması gerektiği, matematiksel nesnelerin ne olduğu konuları sorgulanmaya başlandı. Matematiğin mutlak doğru, değişmeyen, tutarlı ve tam olduğu düşüncecinin herkes tarafından kabul edilmesine rağmen bazen ortaya bir türlü cevap bulamayan sorunlar çıkıyordu. Örneğin George Cantor'un mükemmel gibi görünen kümeler kuramını Bertrand Russell'ın meşhur paradoksu sarsmıştı. Bu paradoksta Bertrand Russell: 'Kendi kendisinin elemanı olmayan bütün kümelerin kümesini düşünün. Ve sonra şunu sorun, "Bu küme, kendisinin bir elemanı mıdır yoksa değil midir?". Eğer kendisinin bir elemanı ise, o halde kendisinin elemanı olmamalıdır.'  diyordu. Artık matematiğin belli temellere oturtulması gerektiğine inanan Alman matematikçi Hilbert 20. yüzyılın başlarından itibaren matematiğin tümünü bütün akıl yürütmeleri ve sonuç çıkarmaları biçimselleştirmeyi önerdi ve bu yolda çalıştı. Eğer kusursuz gibi görünen akıl yürütmeler sonucunda sıkıntılı ya da çelişkili sonuçlara ( paradokslarda olduğu gibi ) ulaşıyorsak çözüm için sembolik mantık kullanılmalıdır. Yapay bir dil oluşturarak bu dille daha kolay ve dikkatli düşünülebilir.  Böyle düşünen Hilbert önce aksiyomatik yöntemin önemini vurguladı. Sembolik mantığı da kullanarak bir önermenin ya tamamıyla doğru ya da tamamıyla yanlış, ikisinin arasında bir şey olmadığını, biçimsel aksiyomatik sistem içerisinde formüle edilen bir ispatın mutlak olarak açık ve tamamıyla pürüzsüz olması gerektiğini vurguladı. Başka bir deyişle Hilbert, oyunun kuralları, tanımlar, temel kavramlar, gramer ve dil-oyunun bütün kuralları-konusunda tamamıyla net olmalıyız ki matematiğin nasıl yapılacağı üzerinde uzlaşabilelim diyordu. Pratikte, bu tür bir biçimsel aksiyomatik sistemi kullanmak çok zahmetli bir iş olacaktır, fakat bu sistem felsefi olarak önemlidir. Çünkü böylece matematiksel akıl yürütmenin herhangi bir parçasının bütün sorularının doğruluğu bir defada çözülecektir. Hilbert bir aksiyomlar kümesine ve bu biçimsel dile sahip olmayı önerdi. Bu biçimsel sistem, hepimizin üzerinde anlaşabileceği ve bütün matematiksel akıl yürütmeleri içerecek mükemmel bir sistem olacaktı! Bundan sonra oyunun bütün kurallarını bilecektik. Hilbert'in Matematiğin tümünü biçimselleştirme çabası ve böylece tüm matematikçilerin görüş ayrılığı yaşamadan çalışma yapma şansı maalesef boşa çıkmıştır. Hilbert'in planının işlemesi ve daha kötüsü işleyebilir hale getirilmesi bile imkânsızdır. Bu sonuca 1931 yılında ulaşıp ortalığı sarsan ve Hilbert'e en mutsuz ve şaşkın günleri yaşatan kişi Kurt Gödel'dir.  Gödel bir sistemin tutarlı olup olmadığının o sistem içinde kanıtlanamayacağını kanıtlamıştır. Şunu söylüyordu: Herhangi tutarlı aksiyomlar kümesi verildiğinde bu kümenin içinden türetilemeyecek doğru aritmetiksel önermeler vardır. Bu sonuç, matematiğin tutarlı olduğunun kanıtlanamayacağının kanıtıydı. Dolayısıyla, kendi içinde kapalı bir sistem oluşturduğu sanılan Hilbert formalizminin çöküşü anlamına geliyordu. O zamana kadar kimse Hilbert'in yanılmış olabileceğini düşünmüyordu. Ancak Gödel'in kanıtı ile anlaşıldı ki içinde bir şeyin doğru olup olmadığını duru ve açık kılacak, bütün matematiksel gerçekliği kapsayacak, bir kurallar kümesi üzerine anlaşıp matematiğin tümü için biçimsel bir aksiyomatik sisteme sahip olacak hiçbir yol yoktur! Böylece Gödel, Hilbert'in sonuçlarının ulaşılmaz olduğunu göstermiştir. Gödel'in ulaştığı sonuçların önemi, henüz tümüyle anlaşılamamışsa da çok geniş kapsamlı olduğu bilinmektedir. Bu sonuçlar matematiksel felsefeye yön vermiş, yeni sorular ortaya çıkarmış ve bu sorulara cevap veren yeni sonuçlar doğurmuştur. Fakat bilinmesi gerekenler her zaman var olacaktır. Belki bu da Gödel sonuçlarının bir yorumudur. Hakan PARLAK www.hakanparlak@gmail.com * Mükemmel Sayıların bu özelliğini biliyor muydunuz? Mustafa Taylan FIRAT anlatıyor: Mükemmel sayıları arayan arkadaşlar için Fermat'nın Son Teoremi kitabında gördüğüm zarif bir özelliği eklemek istedim. Sorulara ve cevaplarına baktım fakat bu özellikle ilgili bir bilgiye rastlamadım, eğer hali hazırda bahsedilmişse özür dilerim. Mükemmel sayıların ortak özelliklerinden birisi de bir dizi sayma sayısının toplamı şeklinde yazılabilmeleridir. Örneğin ; 6=1+2+3 28=1+2+3+4+5+6+7 496=1+2+3+4+5+...+30+31 8128=1+2+3+4+5+.....+126+127 33550336=1+2+3+4+5+6+......+8190+8191 8589869056=1+2+3+4+5+6+7+.....+131070+131071 Bu sayıları incelediğimizde toplamın son teriminin hep 2^n-1 gösterimini sağladığını ve bu zarif özelliğin Mükemmel sayılar için Euklidin bulduğu genel kural (2^(k-1))*(2^k-1) ile sahip olduğu sıkı bağı görebiliriz. * Atatürk'ün geometri isimli bir kitap yazdığını biliyor muydunuz? Atatürk, ölümünden bir buçuk yıl kadar önce, üçüncü Türk Dil kurultayından hemen sonra 1936 - 1937 yılı kış aylarında kendi eliyle Geometri isimli bir kitap yazmıştır. Bu 44 sayfalık yapıttaki boyut, uzay, yüzey, düzey, çap, yarıçap, kesit, çember, teğet, açı, açıortay, içters açı, dışters açı, taban, eğik, kırık, yatay, düşey, yöndeş, konum, üçgen, dörtgen, beşgen, köşegen, eşkenar, ikizkenar, paralelkenar, yanal, yamuk, artı,eksi, çarpı, bölü, toplam, oran, orantı, türev, alan, varsayı gerekçe gibi terimler Atatürk tarafından türetilmiştir. Bu konuyla ilgili Ömer L. Örnekol'un tarihsel bir anısını okumak için tıklayınız... * Neredeyse bilinmeyeni simgelemek için kullanılan x harfinin popülaritesi nereden geliyor? Bu harfin kökeni Arapça şey kelimesine dayanıyor. Daha sonra İspanyolcaya çevrilen cebir kaynaklarında xay olarak gözüken ifade x olarak kısaltıldı ve cebirin bilinmeyeni simgelemede kullandığı en popüler harf haline geldi. * i i kaç eder, nasıl hesaplanır? Öncelikle Euler'in formülünü bilmemiz gerekiyor. Gerisi formüle koymaya kalıyor: Bunun da yaklaşık olarak sonucu şöyle: Aslında i i sayısının sonsuz tane değeri vardır: i harfi nereden geliyor? Bu arada i, İngilizce imaginary (sanal) kelimesinin baş harfini simgelmektedir ve bunu harfin kullanılmasını öneren İsviçreli matematikçi Leonhard Euler'dir. * Pi hakkında! Õ , Yunan alfabesinin 16. harfidir. Ayrıca, Yunanca, çevre uzunluğu anlamına gelen perimeter ( ????µ????? ) ve dış sınır anlamına gelen periphery ( ?????????? ) kelimelerinin başharfidir. Bu harfin kullanımı, Leonhard Euler'in adapte etmesinden sonra standard hale geldi. * e adını nereden alıyor? Doğal logaritma tabanı olarak bilinen e sabiti adını İsviçreli Matematikçi Euler'in başharfinden almaktadır. Ah şu doğum günü partileri! En az 6 kişinin davetli olduğu bir doğum günü partisinde, ya birbirini karşılıklı tanıyan ya da tanımayan 3 kişi bulunacağı garantidir. Hatta bunu kesin kılabilmek için en az 6 kişilik bir parti yapmak gereklidir. Sözgelimi 5 kişilik bir partide böyle bir ilişkiyi garanti edemezsiniz. (Ramsey Kuramından) Doğum gününüzü kutlamaya gelmiş 23 arkadaşınız arasından, en az iki kişinin aynı gün doğmuş olma olasığı %50. Bu olasılığın %90 gibi bir değere ulaşmasını istiyorsanız 50 kişi davet etmeniz yeterli.
	Bugün 5 ziyaretçi (7 klik) kişi burdaydı!